1.得到四元数乘积的一个弱可交换律，并利用它将四元数体上线性矩阵方程转化为数域上的线性方程组，给出此类方程的一般解法。
2.置换的乘法不同于数的乘法，它并不一定满足交换律。
3.引导学生概括出乘法的意义和乘法交换律、结合律。
4.在意识到矩阵表示将导致物理量不满足乘法交换律之前，海森堡并没有前进太远。
5.我们容易验证乘法满足结合律和交换律，并且由加法结果的唯一性得出乘法结果的唯一性和乘法消去律。
6.这些运算律包括：交换律，结合律，消去律，运算单位元，运算逆元，两个运算之间的分配律等，在此不再一一说明详细过程。
7.作为近世代数学的一个分支，有限域是一个拥有传统算术四则运算的抽象代数系统，它满足结合律、交换律、分配律、消去律等运算法则。
8.所谓的“自然”算术运算以损失连续性的代价保持了交换律。
9.矩阵的乘法运算一般不满足交换律，但在特殊的条件下可交换。
10.进一步的,我们可以定义包含交换律、分配律、结合律等公理的代数.
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